\chapter{Posunování komplexně sdružených pólů}
\label{chap:imag}

Předpokládejme, že matice $A$ má řiditelná komplexně sdružená vlastní čísla $\lambda_1 = \lambda$ a $\lambda_2  = \overline{\lambda}$ a že platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. 
	Tato vlastní čísla se budeme snažit posunout do nové komplexně sdružené polohy v~levé otevřené komplexní rovině. Nástrojem na posunutí pólů bude opět kvadratické kritérium. Matice převedeme do Jordanova kanonického tvaru a dostáváme
\begin{equation}
\widetilde{A} = \begin{bmatrix}
\Lambda_2 & 0 \cr
0       & J \cr
\end{bmatrix}
,\quad
\widetilde{B}
= \begin{bmatrix}B_2^{\rm H} \cr \times \end{bmatrix},
\label{eq:IMAB}
\end{equation}
kde $\Lambda_2$ značí matici, která obsahuje vlastní čísla, jenž se budeme snažit posunout
\begin{equation}
\Lambda_2 \triangleq \begin{bmatrix}
\lambda &0 \cr
0 & \overline{\lambda}
\end{bmatrix}.
\label{eq:IMLambda}
\end{equation}
Matice $J\in \mathbb{C}^{n-2 \times n-2}$ obsahuje vlastní čísla, u~kterých zachováme polohu. $B_2^{\rm H}$ označuje první dva řádky matice $\widetilde{B}$. 


Vlastní vektory příslušející komplexně sdruženým vlastním číslům $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ jsou také komplexně sdružené -- pravé vlastní vektory nalezneme v~prvém a druhém sloupci matice $T$, označme je $v = v_1$, $\overline{v} = v_2$, levé vlastní vektory nalezneme v~prvém a druhém řádku $T^{-1}$, označíme je $w^{\rm T} = w_1^{\rm T}$ a $\overline{w} = w_2^{\rm T}$. 

Pro váhovou matici $Q$ jsme odvodili transformační vztahy 
\begin{equation}
 Q = {T}^{\rm -H}\widetilde{Q}T^{-1} , \quad \widetilde{Q} = {T}^{\rm H}QT\,.\label{eq:IMQtransf}
\end{equation}
V~tomto případě posunujeme dva póly, tedy váhovou matici $\widetilde{Q}$ budeme volit ve tvaru
\begin{equation}
\widetilde{Q} = \begin{bmatrix}
Q_2 & 0 \cr
0  &  0 \cr
\end{bmatrix}
,\quad
Q_2 = \begin{bmatrix}
q &  q_{12} \cr
\overline{q}_{12} & q
\cr
\end{bmatrix}
\,.
\label{eq:IMQ}
\end{equation}
 $Q_2$ volíme jako hermitovskou matici, protože  transformaci \eqref{eq:IMQtransf} tvoří komplexně sdružené vektory. Pokud totiž reálnou matici $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ násobíme komplexně sdruženými vlastními vektory, dostáváme  hermitovskou matici. To lze ukázat přímým výpočtem. 
\begin{equation}
Q = \begin{bmatrix} w & \overline{w} \end{bmatrix} Q_2 \begin{bmatrix}
\overline{w}^{\rm T} \cr w^{\rm T} \end{bmatrix} , \quad
{Q_2} = 
\begin{bmatrix}
\overline{v}^{\rm T} \cr v^{\rm T} \end{bmatrix}
Q \begin{bmatrix}
v~& \overline{v} \cr
\end{bmatrix}
\,.
 \label{eq:IMQ2transf}
\end{equation}


Pro konstrukci Hamiltonovy matice nám zbývá vyjádřit součin $\widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}$. V~předchozí kapitole jsme se v~tomto součinu snažili získat hodnotu 1  na stejném řádku a sloupci jako posunované vlastní číslo. Nyní tu máme dvě vlastní čísla, tedy budeme se snažit pomocí matic $B_2^{\rm H}$ (pevná) a $R$ (volíme) dosáhnout  tvaru, který nám pomůže při výpočtu charakteristického polynomu Hamiltonovy matice. 

Jako dobrá volba se ukazuje (viz dále) zvolit $R$ takové, aby platilo
\begin{equation}
\Omega_2 \triangleq B_2^{\rm H} R^{-1}{B}_2 = \begin{bmatrix}
1 & \overline{\omega} \cr \omega & 1 \end{bmatrix}.
\label{eq:IMOmega}
\end{equation}
Pro $\omega \in \mathbb{C}$, $|\omega|\leq 1$. Takové $R$ lze rozhodně zvolit, protože se jedná o~kvadratickou formu a výsledná matice $\Omega_2$ je pozitivně semidefinitní, pak $R$ musí  být také minimálně pozitivně semidefinitní. Pro výpočet optimálního vstupu do systému je ovšem zapotřebí pozitivní definitnost. Tu ověříme následovně
\begin{itemize}
\item \label{item:1vstup} Pro systém s~jedním vstupem je $R$ z~prostoru $\mathbb{R}^1$. Čili abychom dostali na diagonále nenulové číslo, pak $R$ musí být také nenulové -- pozitivně definitní. Jak ale potom jedním parametrem $R$ dostat hermitovskou matici $\Omega_2$ ve tvaru \eqref{eq:IMOmega}? Pro transformaci do Jordanova kanonického tvaru dostáváme pro matici $B$ vztah $\widetilde{B}=T^{-1}B$, tudíž budeme-li se zabývat pouze submaticí $B_2^{\rm H}$; potom z~$T^{-1}$ použijeme jen $w^{\rm T}$ a $\overline{w}^{\rm T}$
\begin{equation}
B_2^{\rm H} = \begin{bmatrix}
w^{\rm T} \cr \overline{w}^{\rm T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
b_1 \cr \vdots \cr b_n \end{bmatrix}.
\end{equation}
Ukazuje se tedy, že prvky matice $B_2$ jsou v~tomto případě komplexně sdružené 
\begin{equation}
B_2^{\rm H} = \begin{bmatrix}
b \cr \overline{b}
\end{bmatrix} 
, \quad B_2^{\rm H}{B}_2 = \begin{bmatrix}
b\overline{b} & bb \cr
\overline{b}\overline{b}& \overline{b} b
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Volíme tedy $R^{-1} = \frac{1}{b\overline{b}} = \frac{1}{|b|^2}$ (analogie s~předchozí kapitolou). Dále ještě ukážeme, že součin $B_2^{\rm H} R^{-1}{B}_2$ dává v~tomto případě singulární matici neboť při výpočtu determinantu dostáváme $\det \Omega_2 = b\overline{b}\overline{b}b - \overline{b}\overline{b}bb =  0$.
Dále platí\footnote{
Pro komplexní číslo $b$ platí $b\overline{b}= |b|^2 = \realpow{b}+\imagpow{b}$. Přímým výpočtem součinu $|bb|$ dostáváme $|bb| = |\realpow{b}- \imagpow{b} + 2j\real{b}\imag{b}| = \sqrt{\left( \realpow{b}-\imagpow{b}\right)^2 + 4\realpow{b}\imagpow{b}} = \sqrt{\left( \realpow{b} + \imagpow{b}\right)^2} = |b|^2$.

} $b\overline{b} = |b|^2 = |bb| = |\overline{b}\overline{b}|$, čili pokud $bR^{-1}\overline{b}=1$, potom také $|\omega| = |bb|=1 $. 

\item Pro systém s~více vstupy je důkaz snazší, ale výpočet $R$ složitější. Řádky matice $B_2^{\rm H}$ jsou i pro $m \geq 2$ komplexně sdružené (viz předchozí bod). Takže i zde  součin $B_2^{\rm H} R^{-1}{B}_2$ dává hermitovskou matici ve tvaru \eqref{eq:IMOmega} pro libovolnou matici $R \in \mathbb{R}^{m \times m}$. Z~těchto všech matic vybereme libovolnou symetrickou a pozitivně definitní.
\end{itemize}

Pomocí rovnic \eqref{eq:IMAB}, \eqref{eq:IMQ} a \eqref{eq:IMOmega} dostáváme Hamiltonovu matici ve tvaru
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
T & 0 \cr
0 & {T}^{\rm -H}
\end{bmatrix}
\begin{pmat}[{.|.}]
\Lambda_2  & 0 & -\Omega_2 & \times \cr
0 & J & \times & \times \cr\-
-Q_2 & 0& -{\Lambda}_2^{\rm H} & 0 \cr
0 & 0  & 0 & -{J}^{\rm H}\cr
\end{pmat}
\begin{bmatrix}
T^{-1} & 0 \cr
0 & { T}^{\rm H}
\end{bmatrix}.
\label{eq:IMHamiltonMatrix}
\end{equation}
Vlastní čísla matic $J$ a $-J^{\rm H}$ chceme zachovat, tedy veškerou informaci o~posunu vlastních čísel $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ získáme pomocí charakteristického polynomu  matice 
\begin{equation}
H_2 \triangleq \begin{bmatrix}
\Lambda_2 & -\Omega_2 \cr
-Q_2 & -{\Lambda}_2^{\rm H}
\end{bmatrix}.
\label{eq:IMH2}
\end{equation}
Pro matici $H_2$ vypočítáme parametrizovaný charakteristický polynom. 
\begin{align}
\det (sI-H_2) &=
\det
\begin{pmat}[{|}]
sI - \Lambda_2  &  \Omega_2  \cr\-
Q_2 &  sI+{\Lambda}_2^{\rm H}  \cr
\end{pmat},\nonumber \\
&=
\det
\begin{pmat}[{.|.}]
s-\lambda & 0 & 1 & \overline{\omega} \cr
0 & s-\overline{\lambda} & \omega & 1\cr\-
q & q_{12} & s+\overline{\lambda} &0 \cr
\overline{q}_{12} &q & 0 & s+\lambda\cr
\end{pmat},\nonumber \\
&=  s^4- 2\left( \real{\lambda^2}+q+\real{\omega q_{12}}\right)s^2 +~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \nonumber 
\\&+
|\lambda|^4+2|\lambda|^2q+2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}+ (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2)\,.
\label{eq:IMcharpol}
\end{align}
Označme $\mu$ a $\overline{\mu}$ novou polohu vlastních čísel $\lambda$ a $\overline{\lambda}$. Požadovaný charakteristický polynom  (redukovaný o~část, která se nemění) je zřejmě
\begin{align}
\det (sI-H_{2,\mu} ) &= (s-\mu)(s+\mu)(s-\overline{\mu})(s+\overline{\mu})\,, \nonumber \\
&=s^4-2\real{\mu^2} s^2+|\mu|^4\,.
\label{eq:IMDesiredCharPol}
\end{align}
Porovnáním koeficientů u~stejných mocnin v~rovnicích \eqref{eq:IMcharpol} a \eqref{eq:IMDesiredCharPol} dostáváme  soustavu dvou rovnic
\begin{subequations}
\begin{align}
\real{\mu^2} &=\real{\lambda^2}+q+\real{\omega q_{12}}\,,\label{eq:IMs2}\\
|\mu|^4 &=|\lambda|^4 + 
2|\lambda|^2q+2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}+ (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2)\,.
\label{eq:IMs0}
\end{align}
\label{eq:IMs}
\end{subequations}
Vyřešením této soustavy rovnic dostaneme hodnoty $q$, $q_{12}$ a tedy i $Q$, pomocí které můžeme realizovat dané posunutí. Může se stát, že $Q$ je negativně definitní. V~takovém případě nelze pro požadovanou poloha pólů $\mu$ a $\overline{\mu}$ nalézt kvadraticky optimální regulátor. Dále budeme zkoumat oblast, pro kterou lze kvadraticky optimální regulátor nalézt. V~soustavě  \eqref{eq:IMs} se vyskytuje i $\omega$. Přípustná oblast bude zřejmě závislá na hodnotě $\omega$. Pozornému čtenáři jistě neunikne, že daná soustava dvou rovnic má v~podstatě tři neznámé, neboť hledáme $q\in \mathbb{R}$ a $q_{12} \in \mathbb{C}$. $q_{12}$ představuje dvě neznámé -- reálnou a imaginární část.

 Pro snazší orientaci v~rovnicích a další vykreslování přípustných oblastí budeme používat notaci 
\begin{equation}
x = \real{\mu} , \quad y = \imag{\mu}\,.
\end{equation}
Tedy soustavu \eqref{eq:IMs} přepíšeme do tvaru
\begin{subequations}
\begin{align}
x^2-y^2 &=\real{\lambda^2}+q+\real{\omega q_{12}}\label{eq:XYs2}\,,\\
(x^2+y^2)^2 &=|\lambda|^4 + 
2|\lambda|^2q+2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}+ (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2)\,.
\label{eq:XYs0}
\end{align}
\label{eq:XYs}
\end{subequations}
V~následujících třech sekcích bude rozebrán tvar přípustné oblasti v~závislosti na hodnotě~$\omega$.
%$\boldsymbol\alpha$
\section{Případ \texorpdfstring{ $ | \omega  |=1$}{|w|=1}}
\label{sec:w1}

%$ \bm | \bm \omega \bm| \bm = \bm 1$


Tento případ je charakterizován singularitou matice $\Omega_2$; taková situace nastává u~systémů s~jedním vstupem (rozebráno podrobně na straně \pageref{item:1vstup}). V~soustavě rovnic \eqref{eq:XYs} se vynuluje kvadrát $q$ a $|q_{12}|^2$ a dostáváme soustavu rovnic lineárních v~závislosti na $q$.
\begin{subequations}
\begin{align}
x^2-y^2 &=\real{\lambda^2}+q+\real{\omega q_{12}}\,,\label{eq:XYs2w1}
\\
(x^2+y^2)^2 &=|\lambda|^4 + 
2|\lambda|^2q+2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}\,.
\label{eq:XYs0w1}
\end{align}
\label{eq:XYsw1}
\end{subequations}

Pomocí požadavku na pozitivní semidefinitnost matice $Q_2$ se pokusíme nalézt hranice přípustné oblasti pro $\mu$. Protože požadujeme $q \geq 0$, potom $Q_2$ je pozitivně semidefinitní právě tehdy, když $q\geq |q_{12}|$. Výslednou nerovnost lze ještě upravit
\begin{equation*}
q \geq |q_{12}| \geq |\omega q_{12}| \geq |\real{\omega q_{12}}|\,.
\nonumber
\end{equation*}
Z~této rovnice plyne
\begin{equation}
q+ \real{\omega q_{12}} \geq 0 \,.
\label{eq:XYnerovnost1}
\end{equation}
Nerovnost $q\geq |q_{12}|$ lze také upravit do tvaru
\begin{equation*}
|\lambda^2|q \geq |\lambda^2||q_{12}| \geq |\lambda^2\omega q_{12}| \geq 
|\real{\lambda^2 \omega q_{12}}|\,.
\nonumber
\end{equation*}
Z~této rovnice plyne
\begin{equation}
2|\lambda|^2q + 2\real{\lambda^2 \omega q_{12}} \geq 0\,.
\label{eq:XYnerovnost2}
\end{equation}
Nyní dosadíme nerovnosti \eqref{eq:XYnerovnost1} a \eqref{eq:XYnerovnost2} do soustavy rovnic 
\eqref{eq:XYsw1}
 a dostáváme  nerovnosti
\begin{align}
x^2-y^2 &\geq \real{\lambda^2}\,,\label{eq:XYw1hranicehyperbola}\\
x^2 + y^2 &\geq|\lambda|^2\,.\label{eq:XYw1hranicekruznice}
\end{align}
	První nerovnost \eqref{eq:XYw1hranicehyperbola} vyjadřuje oblast ohraničenou hyperbolou se středem v~počátku a asymptotami $y = \pm x$. 
V~závislosti na znaménku $\real{\lambda^2}$  dostáváme konjugované hyperboly
\begin{itemize}
\item Hyperbola otevírající se podél imaginární osy -- pro $\real{\lambda^2}>0$ tedy $|\real{\lambda}| > |\imag{\lambda}|$
\item Hyperbola otevírající se podél reálné osy -- pro  $\real{\lambda^2}<0$ tedy $|\real{\lambda}| < |\imag{\lambda}|$
\item 
Pro  $\real{\lambda^2}=0$ ($|\real{\lambda}| = |\imag{\lambda}|$) se rovnice hyperboly degeneruje na rovnici asymptot $y=\pm x$.

\end{itemize} 


Druhá nerovnost \eqref{eq:XYw1hranicekruznice} vymezuje oblast vně kružnice se středem v~počátku a poloměrem $|\lambda|$. 

Průnikem obou oblastí dostaneme přípustnou oblast pro $\mu$; zaměříme se také na průnik hraničních křivek, který zjistíme vzájemným dosazením nerovnic \eqref{eq:XYw1hranicehyperbola} a \eqref{eq:XYw1hranicekruznice} a záměnou $\geq$ za rovnost.
\begin{align*}
x^2-y^2 &= \real{\lambda^2}\,,&     x^2+y^2 &= |\lambda|^2\,,\\
-2y^2 &=  \real{\lambda^2}- |\lambda|^2 = -2\imagpow{\lambda}\,,&&\\
y^2 &= \imagpow{\lambda}\,,& x^2 &= \realpow{\lambda}\,.
\end{align*}
Ukazuje se tedy, že k~průniku hraničních křivek dochází v~bodech $\pm\lambda$ a $\pm\overline{\lambda}$.


Obrázek \ref{fig:w1} ukazuje přípustné oblasti pro různé hodnoty $\lambda$ a následující věta poté shrnuje charakteristiky oblasti pro $|\omega|=1$.
\begin{theorem}
	Nechť platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. Váhovou matici $R$ volíme tak, aby platilo $\Omega_2 = B_2^{\rm H}R^{-1}{B}_2 = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & \overline{\omega} \cr \omega & 1\cr \end{smallmatrix} \right]$ a $|\omega|=1$. Řiditelná komplexně sdružená vlastní čísla $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ matice $A$ lze kvadratickým kritériem posunout do oblasti vymezené hyperbolou \eqref{eq:XYw1hranicehyperbola} a kružnicí \eqref{eq:XYw1hranicekruznice}. K~průniku hyperboly a kružnice dochází právě v~bodech $\pm\lambda$ a $\pm\overline{\lambda}$. Hraniční křivky jsou charakterizovány vlastností $\det Q_2 = 0 \Rightarrow q =|q_{12}|$.
\end{theorem}



\begin{figure}[htp]
     \centering
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=2j$ a $|\omega|=1$]{
          \label{fig:w_1_2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_1_2i.pdf}}
%     \hspace{.3in}
\vspace{0.1in}
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $|\omega|=1$]{
          \label{fig:w_1_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_1_-1+2i.pdf}}
\\
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-2+2j$ a $|\omega|=1$]{
          \label{fig:w_1_-2+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_1_-2+2i.pdf}}\vspace{0.1in}
      \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=3+2j$ a $|\omega|=1$]{
          \label{fig:w_1_3+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_1_3+2i.pdf}}
     \caption[Přípustná oblast pro  posunutí komplexně sdružené dvojice pólů; $|\omega|=1$]{Přípustné oblasti pro $\mu$ pro různé hodnoty $\lambda$ za předpokladu $|\omega|=1$ -- obrázky ukazují různé tvary hyperbol v~závislosti na znaménku $\real{\lambda^2}$}
     \label{fig:w1}
\end{figure}

\section{Případ \texorpdfstring{ $\omega=0$}{w=0}}\label{sec:w0}
V~této situaci matice $\Omega_2$ tvoří jednotkovou matici. To přináší jistá zjednodušení v~soustavě rovnic \eqref{eq:XYs}. Kvadrát $q^2$ a $|q_{12}|^2$ ale zůstává a komplikuje řešení. Dostáváme  soustavu
\begin{subequations}
\begin{align}
x^2-y^2 &= \real{\lambda^2} +q\,, \label{eq:XYs2w0}\\
(x^2+y^2)^2 &= |\lambda|^4 + 2|\lambda|^2q+q^2 - |q_{12}|^2\,. \label{eq:XYs0w0}
\end{align}
\label{eq:XYsw0}
\end{subequations}
Hledáme takovou oblast v~komplexní rovině, pro kterou bude mít soustava rovnic \eqref{eq:XYsw0} řešení splňující $q\geq |q_{12}|$ a zároveň $q\in \mathbb{R}$, $q_{12} \in \mathbb{C}$. Rovnice \eqref{eq:XYs2w0}  ukazuje, že $q$ je skutečně reálné řešení v~případě, že je rovnice \eqref{eq:XYs0w0} splněna pro $q_{12} \in \mathbb{C}$.

Rovnici \eqref{eq:XYs0w0} použitím úpravy na čtverec přepíšeme do tvaru
\begin{equation*}
|q_{12}|^2 = \left(q+ |\lambda|^2\right)^2 - \left(x^2+y^2\right)^2\,.\nonumber
\end{equation*}
Aplikací podmínky $|q_{12}|\geq 0$ dostáváme nerovnost
\begin{equation*}
x^2 + y^2 \leq q + |\lambda|^2\,.\nonumber
\end{equation*}
Dosazením z~rovnice \eqref{eq:XYs2w0} dostáváme konečný tvar omezení
\begin{align}
x^2+y^2 &\leq x^2 - y^2- \real{\lambda^2} + |\lambda|^2\,,\nonumber \\
2y^2 &\leq|\lambda|^2  - \real{\lambda^2}\,,\nonumber\\
y^2 &\leq \imagpow{\lambda}\,.\label{eq:XYomezeniImaginarniCasti}
\end{align}
Nerovnost vymezuje pás šířky $2|\imag{\lambda}|$ symetrický s~reálnou osou a vyjadřuje, že imaginární část $\mu$ nemůže být než větší imaginární část posunovaného vlastního čísla $\lambda$. Omezení imaginární části je vykresleno na obrázku \ref{fig:w0} červenou čarou.

Další omezení lze vyjádřit z~podmínky pozitivní semidefinitnosti matice $Q_2$; užitím $q^2 - |q_{12}|^2\geq 0$  v~rovnici \eqref{eq:XYs0w0} dostaneme
\begin{align}
(x^2-y^2)^2-2|\lambda|^2q-|\lambda|^4 = q^2 -|q_{12}|^2 &\geq 0\,, \nonumber \\
(x^2-y^2)^2 -2|\lambda|^2(x^2 -y^2 - \real{\lambda^2}) - |\lambda|^4 &\geq 0\,,   \nonumber\\
(x^2-y^2)^2 -2|\lambda|^2(x^2 -y^2) + |\lambda|^4 &\geq 4|\lambda|^2\imagpow{\lambda} \,.  \label{eq:XYomezeniCassinihoOval}
\end{align}
Výsledná nerovnost vymezuje oblast vně od rovinné křivky 4. stupně nazývané {\it Cassiniho ovál}. Cassiniho ovál patří do skupiny křivek, které vzniknou řezem toroidu. U~Cassiniho oválu dochází k~řezu rovinnou rovnoběžnou se svislou osou toroidu -- viz. obrázek \ref{fig:toroid}.

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics[scale=0.85]{images/toricSection.pdf}
\caption[Cassiniho ovál vyznačený na řezu toroidu]{Cassiniho ovál vyznačený tučnou modrou čarou na řezu toroidu}\label{fig:toroid}
\end{figure}
Obecná rovnice Cassiniho oválu je podle \citep{cassiniOval}.
\begin{equation}
    (x^2 + y^2)^2 - 2e^2(x^2 - y^2) + e^4 = a^4\,,
\end{equation}
kde $e$ značí ohniskovou vzdálenost, $a$  je parametrem křivky. V~našem případě je tedy 
\begin{equation}
e=|\lambda|, \quad a=\pm\sqrt{2|\lambda||\imag{\lambda}|}\,.
\label{eq:XYparametrizaceCassinihoKrivky}
\end{equation}
Cassiniho ovál může nabývat různých tvarů v~závislosti na parametru $a$. 
\begin{itemize}
\item Pro $a^2 \geq 2e^2$ má Cassiniho ovál tvar podobný elipse. Dosazením pomocí \eqref{eq:XYparametrizaceCassinihoKrivky} dostáváme 
\begin{align}
2|\lambda||\imag{\lambda}| &\geq2|\lambda|^2 \,, \nonumber\\
|\imag{\lambda}| &\geq|\lambda| \,.\label{eq:XYCO1}
\end{align} 
V~našem případě lze dosáhnout pouze rovnosti a to v~situaci, kdy komplexní číslo $\lambda$ má nulovou reálnou část.  To je ilustrováno modrou křivkou na obrázku \ref{fig:w_0_2i}. 
\item Pro $e^2 < a^2 < 2e^2$ se na Cassiniho oválu objevují průhyby. Vyjádřením spodní nerovnosti dostáváme 
\begin{align}
2|\lambda||\imag{\lambda}| &\geq|\lambda|^2 \,, \nonumber\\
4\imagpow{\lambda} &\geq \realpow{\lambda} +\imagpow{\lambda}\,,\nonumber\\
\imagpow{\lambda} &\geq \frac{\realpow{\lambda}}{3}\,.
\label{eq:XYCO2}
\end{align} 
Tato situace je znázorněna modrou křivkou na obrázcích \ref{fig:w_0_-1+2i}, \ref{fig:w_0_-2+2i} a \ref{fig:w_0_3+2i}.
\item Pro $e^2 = a^2$ se jedná o~Bernoulliovu lemniskátu \citep{lemniscate}. Z~předchozího odvození \eqref{eq:XYCO2} plyne, že tento tvar dostáváme pro 
$ \imagpow{\lambda} = \frac{\realpow{\lambda}}{3}$. Modrá křivka na obrázku \ref{fig:w_0_-3+sqrt3i} ukazuje Bernoulliovu lemniskátu pro $\lambda=-3+\sqrt{3}j$.
\item Pro $e^2 > a^2$ tvoří Cassiniho ovál dvě části symetrické podle imaginární osy. Tato situace je pro $ \imagpow{\lambda} \leq \frac{\realpow{\lambda}}{3}$ a je demonstrována na obrázku \ref{fig:w_0_-2+i} modrou barvou.
\end{itemize}

Zajímavou otázkou je, zda se Cassiniho ovál a přímka $y = \pm \imag{\lambda}$ v~některém bodě protínají. Pokud se protínají, potom v~kolika bodech? Nejprve budeme hledat extrémy Cassiniho oválu (jeho maxima i minima) a podle jejich hodnoty určíme vzájemný vztah obou křivek. Cassiniho ovál je implicitně zadaná funkce, tudíž k~řešení využijeme větu o~derivaci implicitně zadané funkce \citep[Věta 8.2]{tiser}. Označme hranici oblasti dle \eqref{eq:XYomezeniCassinihoOval}
\begin{equation}
f(x,y(x)) = (x^2+y^2)^2  - 2|\lambda|^2(x^2-y^2) |\lambda|^4 - 4|\lambda|^2\imagpow{\lambda} = 0\,. \label{eq:fx}
\end{equation}
Pro derivaci implicitně zadané funkce platí 
\begin{equation*}
\frac{{\rm d}y}
{ {\rm d}x} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x} (x,y(x))}{\frac{\partial f}{\partial y} (x,y(x))}\,.
\end{equation*}
Použitím tohoto vztahu dostáváme derivaci $f(x,y(x))$ ve tvaru
\begin{equation}
\frac{{\rm d}y}
{ {\rm d}x} = - \frac{x^3+xy^2-|\lambda|^2x}{y^3+ x^2y+|\lambda|^2y} =
-\frac{x(x^2+y^2-|\lambda|^2)}
{y(x^2+y^2+|\lambda|^2)}\,.
\label{eq:XYderivace}
\end{equation}
Jmenovatel (parciální derivace podle $y$) nesmí být nulový. Taková situace nastane pouze v~případě $y=0$, kdy se jedná o~úlohu posunutí reálného pólu (rozebráno v~kapitole \ref{chap:real}). Výraz ve jmenovateli v~závorce je pro nenulové $y$ vždy kladný. Budeme vyšetřovat extrémy funkce $f(x,y(x))$ položením její derivace rovné nule. Jmenovatel z~rovnice \eqref{eq:XYderivace} můžeme vypustit a dostáváme
%\begin{equation*}
\[
-x(x^2+y^2-|\lambda|^2 )= 0 \nonumber\,.
\]
%\end{equation*}
Řešení $x=0$ nemá smysl, protože póly posunuté kvadratickým kritériem mají reálnou část vždy zápornou. Zbývá výraz $x^2+y^2 - |\lambda|^2 =  0$. Jeho dosazením do \eqref{eq:fx} bychom měli dostat polohy maxim a minim.
\begin{align}
x^2 + y^2 &= |\lambda|^2\nonumber\,,\\
(|\lambda|^2)^2 -2|\lambda|^2(|\lambda|^2 - 2y^2)  -4|\lambda|^2\imagpow{\lambda} &=0\nonumber\,,\\
y^2 = \imagpow{\lambda} \quad \Rightarrow \quad 
x^2  &= \realpow{\lambda}\nonumber\,.
\end{align}
Funkce $f(x,y(x))$ má extrémy v~bodech $\pm \lambda$ a $\pm \overline{\lambda}$. Pro libovolné $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ platí, že se Cassiniho ovál  dotýká přímek $y = \pm \imag{\lambda}$ právě ve čtyřech bodech a vyplňuje tak pás daný těmito přímkami.

%Následující věta shrnuje závěry této sekce.
\begin{theorem}
	Nechť platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. Váhovou matici $R$ volíme tak, aby platilo $\Omega_2 = B_2^{\rm H}R^{-1}{B}_2 = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1\cr \end{smallmatrix} \right]$. Řiditelná komplexně sdružená vlastní čísla $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ matice $A$ lze kvadratickým kritériem posunout do oblasti vymezené pásem šířky $2|\imag{\lambda}|$ symetrického podle reálné osy 
	a vnějškem Cassiniho oválu s~ohnisky v~bodech $\pm|\lambda|$, jehož tvar je závislý na poměru $|\frac{\real{\lambda}}{\imag{\lambda}}|$.
\begin{comment}
 Vlastní čísla $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ lze posunout doleva od Cassiniho oválu, ale jejich imaginární část se nedá zvětšit.\end{comment}
 Posun podél Cassiniho oválu nastane v~situaci $\det Q_2 = 0 \Rightarrow q^2 - |q_{12}|=0$, zatímco posun při konstantní imaginární části je v~situaci $q_{12}=0$.
\end{theorem}

%Obrázek \ref{fig:w0} ukazuje přípustné oblasti pro různé hodnoty $\lambda$.

\begin{figure}[!ht]
     \centering
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=2j$ a $\omega=0$]{
          \label{fig:w_0_2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_2i.pdf}}
     \vspace{0.1in}
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $\omega=0$]{
          \label{fig:w_0_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_-1+2i.pdf}}
\end{figure}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\setcounter{subfigure}{2}
      \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-2+2j$ a $\omega=0$]{
          \label{fig:w_0_-2+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_-2+2i.pdf}}
     \vspace{0.1in}
      \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=3+2j$ a $\omega=0$]{
          \label{fig:w_0_3+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_3+2i.pdf}}
\end{figure}
\begin{figure}[!ht] \centering
	%\ContinuedFloat
\setcounter{subfigure}{4}
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-3+\sqrt{3}j$ a $\omega=0$; modrá křivka tvoří Bernoulliovu lemniskátu]{
          \label{fig:w_0_-3+sqrt3i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_-3+sqrt3i.pdf}}
\vspace{0.1in}
\subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-2+j$ a $\omega=0$; Cassiniho ovál je rozdělen na dvě symetrické části]{
          \label{fig:w_0_-2+i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_0_-2+i.pdf}}

     \caption[Přípustná oblast pro  posunutí komplexně sdružené dvojice pólů; $\omega=0$]{Přípustné oblasti pro $\mu$ pro různé hodnoty $\lambda$ za předpokladu $\omega=0$; obrázky ukazují na různé tvary Cassiniho oválů  v~závislosti na poměru $|\frac{\real{\lambda}}{\imag{\lambda}}|$}
     \label{fig:w0}
\end{figure}

\newpage

\section{Případ \texorpdfstring{$0< |\omega|<1$}{0<|w|<1}} \label{sec:w}
		V~předchozích dvou oddílech jsme se zabývali situacemi, kdy $|\omega|=1$ viz sekce~\ref{sec:w1} a $\omega = 0$ viz sekce~\ref{sec:w0}. Závěr z~první uvedené sekce byl, že přípustná poloha pólů je vymezena kružnicí a hyperbolou, zatímco závěr v~případě $\omega=0$ byl, že přípustná oblast je ohraničena Cassiniho oválem a přímkami $y = \pm \imag{\lambda}$. Jakkoli je Cassiniho ovál podobný kružnici, o~přímce zdaleka nemůžeme říci, že by se mohla charakterem svého omezení blížit hyperbole. 

Co lze očekávat od situace $0 <|\omega|<1$? Omezení by se neměla skokově měnit, neboť jejich charakter je závislý na spojité veličině $\omega$.
\begin{description}
\item[Cassiniho ovál $\Leftrightarrow$ Kružnice] U~tohoto omezení lze očekávat, že se vzrůstající velikostí $|\omega|$ se bude Cassiniho ovál blížit kružnici. K~této hypotéze nás nevede jen podobný tvar obou křivek, ale zejména společná vlastnost, že vyjadřují situaci, kdy $\det Q_2 = 0$.

  Na tomto místě je vhodné připomenout, že Cassiniho ovál je křivka čtvrtého stupně, zatímco kružnice druhého. Dopředu nelze odhadnout, jakého stupně bude tato křivka pro obecný případ $0 <|\omega|<1$. 
\item[Přímka $y = \pm \imag{\lambda}$ $\Leftrightarrow$ ?] U~tohoto omezení lze jen těžko odhadovat jeho vývoj. Můžeme očekávat, že se pro $|\omega| \rightarrow 1$ bude maximum oboru hodnot daného funkcí tohoto omezení blížit k~nekonečnu.
\item[Hyperbola] S omezením hyperbolou se v podstatě setkáváme ve všech případech, pouze v případě $|\omega|=1$ je toto omezení aktivní, jinak je nahrazeno omezením daným předchozím bodem.
\end{description}

Analýzu přípustné oblasti pro požadovanou polohu pólů $\mu$ a $\overline{\mu}$ provedeme ze soustavy rovnic \eqref{eq:XYs}. Pro lepší srozumitelnost textu ji zde znovu uvedeme
\begin{subequations}
\begin{align}
x^2-y^2 &=\real{\lambda^2}+q+\real{\omega q_{12}}\label{eq:XYsw2znovu}\,,\\
(x^2+y^2)^2 &=|\lambda|^4 + 
2|\lambda|^2q+2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}+ (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2)\,.
\label{eq:XYsw0znovu}
\end{align}
\label{eq:XYswznovu}
\end{subequations}
Podmínky přípustného řešení jsou: 
\begin{itemize}
\item $q$ je reálné číslo, $q_{12}$ je komplexní číslo. Z~rovnice \eqref{eq:XYsw2znovu} je zřejmé, že  $q$ je reálné v~případě, že pro nějaké $q_{12} \in \mathbb{C}$ je rovnice \eqref{eq:XYsw0znovu} je splněna.

\item $|q_{12}| \geq 0$.
\item $q \geq |q_{12}|$. Tento případ bude rozebrán dále.

\end{itemize}
 Inspirováni předchozími sekcemi dosadíme tuto nerovnost do rovnice \eqref{eq:XYsw0znovu} a získáme
\begin{equation}
(x^2+y^2)^2 \geq |\lambda|^4 + 2|\lambda|^2q + 2\real{\lambda^2\omega q_{12}}\,.
\label{eq:XYwdetnull}
\end{equation}
Dostáváme nerovnost, která je závislá na $q$ i $q_{12}$.  Tento způsob řešení nepovede k~vyjádření přípustné oblasti, dokud nebudeme znát vyjádření $q = f(x,y,\lambda,\omega)$ a $q_{12} = g(x,y,\lambda,\omega)$, které lze spočítat pomocí výpočetního programu, jenž umí pracovat se symbolickými proměnnými (např. Matlab). Řešení poté vede na velice komplikované a dlouhé vztahy.

My zvolíme jinou strategii. Pro oba krajní případy $|\omega| =1$ a  $\omega=0$ platí vlastnost,  že rovnice $q = |q_{12}|$ vyjadřuje maximální reálnou část přípustného $\mu$ pro dané $y\in (-|\imag{\lambda}|, |\imag{\lambda}|)$.  Budeme předpokládat platnost této vlastnosti i pro obecný případ.
Dále budeme postupovat tak, že zavedeme optimalizační problém
%\begin{equation}\begin{split}
\begin{align}
\min \big\{x^2 : x^2-y^2 - \real{\lambda^2}-q-\real{\omega q_{12}}&=0, \nonumber \\ 
 (x^2+y^2)^2 -|\lambda|^4 - 2|\lambda|^2q-2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}-&\nonumber\\- (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2) &=0,\nonumber \\
 q^2 - |q_{12}|^2 &= 0~~\big\}\,. \label{eq:XYoptimalizacniProblem}
\end{align}
%\end{split}\end{equation}
Rovnice \eqref{eq:XYoptimalizacniProblem} vyjadřuje požadavek na minimální hodnotu kvadrátu reálné části $\mu$ za předpokladu, že platí rovnice \eqref{eq:XYsw2znovu}, \eqref{eq:XYsw0znovu} a $\det Q_2=0$. Jedná se o~optimalizační problém s~omezeními ve tvaru rovnosti; zavedeme Lagrangeovu funkci 
\begin{align}
{\cal L} &=x^2+ \lambda_1 \left(x^2-y^2 - \real{\lambda^2}-q-\real{\omega q_{12}}\right) + \nonumber \\
&  
+ \lambda_2 \left((x^2+y^2)^2 -|\lambda|^4 - 2|\lambda|^2q-2\real{\lambda^2 \omega q_{12}}- (1-|\omega|^2)(q^2- |q_{12}|^2) \right)+~~ \nonumber\\
& + \lambda_3 \left( q^2 - |q_{12}|^2 \right)\,. \label{eq:wLagrangian}
\end{align}
Extrém funkce $f(x,q,q_{12}) = x^2$ nastane tehdy, když bude platit (viz. \citep[Sekce 2.3]{ORR})
\begin{align}
%\begin{bmatrix}
\frac{\partial{\cal L}}{\partial x} &=0\,, &% \nonumber \\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial \lambda_1 } &=0\,, \nonumber \\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial q} &=0 \,,& %\nonumber \\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial \lambda_2} &=0 \,,\label{eq:XYoptimalizacniProblemReseni}
 \\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial q_{12}} &=0\,, &% \nonumber \\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial \lambda_3} &=0\,.
\nonumber
 \end{align}
Pro řešení soustavy rovnic \eqref{eq:XYoptimalizacniProblemReseni} je vhodné použít opět výpočetní systém. V~porovnání s~vyjádřením $q = f(x,y,\lambda,\omega)$ a $q_{12} = g(x,y,\lambda,\omega)$ vede tato metoda k~jednoduššímu vyjádření výsledného omezení. 

Analýzou řešení pro několik zvolených $\omega$ jsme dostali následující závěry
\begin{itemize}
\item $|\omega|=1$: Výsledkem je část kružnice, závěr je v~souladu se sekcí \ref{sec:w1}
\item $\omega=0$: Řešením je část Cassiniho oválu, stejně jako jsme popisovali v~sekci \ref{sec:w0}
\item $0<|\omega|<1$: Řešením je křivka osmého stupně, která se pro $|w|\rightarrow 1 $ blíží kružnici a pro $|\omega|\rightarrow 0$ blíží Cassiniho oválu -- modrá křivka na obrázku \ref{fig:w} .
\end{itemize}
Náš předpoklad, že maximální reálná část $\mu$  je pro $0 \leq |\omega|\leq 1$ a pro $y \in (-|\imag{\lambda}|, |\imag{\lambda}|)$ charakterizována $\det Q_2=0$, byl zřejmě správný.


Pro vyjádření omezení maximální imaginární části je postup pomocí formulace úlohy jako optimalizačního problému ztížen tím, že neznáme charakteristiku tohoto omezení. V~zadání optimalizačního problému by se poté objevila nerovnost, která komplikuje celou situaci. 

Maximální imaginární část pro dané $\omega$ jsme tedy získali vyjádřením \eqref{eq:XYswznovu} pro každé $x$. Výsledky pro různé $\omega$ jsou na obrázku \ref{fig:w} znázorněn červenou křivkou. Z~obrázků lze vyčíst pomalý růst maximální přípustné imaginární části pro $|\omega| <0.5$, rychlejší v~oblasti $0.5 \leq |\omega| <0.9 $ a strmý v~oblasti $0.9 \leq |\omega|\leq 1$.
Dále se ukazuje, že žádný pevný vztah mezi $q$ a $q_{12}$ neplatí.
\begin{theorem}
	Nechť platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. Váhovou matici $R$ volíme tak, aby platilo $\Omega_2 = B_2^{\rm H}R^{-1}{B}_2 = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & \overline{\omega} \cr \omega & 1\cr \end{smallmatrix} \right]$, kde $\omega \in \mathbb{C}$ a $0 < |\omega|<1$. Dále mějme řiditelná komplexně sdružená vlastní čísla $\lambda$ a $\overline{\lambda}$ matice $A$. Kvadratickým kritériem lze posunout reálnou část $\lambda$ doleva od jeho stabilního obrazu, imaginární část je shora omezena (znázorněno na obrázku \ref{fig:w}). Pro maximální přípustnou reálnou část (modrá křivka) platí vlastnost $q = |q_{12}|$ a je vyjádřena křivkou osmého stupně. Naopak u~maximální imaginární části (červená křivka) nepozorujeme žádný vztah mezi $q$ a $q_{12}$.
\end{theorem}
\begin{figure}[htp]
     \centering
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $|\omega|=0.5$]{
          \label{fig:w_05_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_05_-1+2i.pdf}}
%     \hspace{.3in}
\vspace{0.1in}
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $|\omega|=0.8$]{
          \label{fig:w_08_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_08_-1+2i.pdf}}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]
\centering
\setcounter{subfigure}{2}
  \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $|\omega|=0.9$]{
          \label{fig:w_09_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_09_-1+2i.pdf}}
\vspace{0.1in}
      \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro $\lambda=-1+2j$ a $|\omega|=0.95$]{
          \label{fig:w_095_-1+2i}
          \includegraphics[width=.485\textwidth]{images/polohaPolu/w_095_-1+2i.pdf}}
     
     \caption[Přípustná oblast pro posunutí komplexně sdružené dvojice pólů; $0<|\omega|<1$]{Přípustné oblasti pro $\mu$ pro různé hodnoty $\omega$ }
     \label{fig:w}
\end{figure}
\newpage
\section{Řešení algebraické Riccattiho rovnice}

Kromě přípustných oblastí pro $\mu$ a $\overline{\mu}$ nás ještě zajímá výpočet řešení 
 ARE $P$ a  zesílení  $F$ stavové zpětné vazby. 

Podle kapitoly \ref{sec:prerekvizity}  známe vztah
\[
P = {T}^{\rm -H}\widetilde{P} T^{-1}\nonumber\,,
\]
kde $\widetilde{P}$ můžeme v~tomto případě uvažovat ve tvaru 
\[
\widetilde{P} = \begin{bmatrix} P_2 & 0 \cr 0 & 0 \cr \end{bmatrix}\,.
\]
$P_2 \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ je hermitovská matice se stejnými diagonálními prvky. Navíc $P_2 \geq 0$. Algebraická Riccatiho rovnice vyjádřená pomocí transformovaných matic je ve tvaru
\eqref{eq:AREJordan}; uvedeme zde její tvar ještě jednou
\[
T^{\rm -H} \left( \widetilde{A}^{\rm H}\widetilde{P}+ \widetilde{P}\widetilde{A}  -
\widetilde{P}\widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}\widetilde{P} + \widetilde{Q} \right)T^{-1} = 0 \nonumber\,.
\]
Dosazením transformovaných matic do této rovnice dostáváme redukovaný tvar ARE
\begin{equation}
P_2\Lambda_2 + {\Lambda}_2^{\rm H}P_2-P_2\Omega_2P_2 +Q_2 = 0\,.
\label{eq:AREkomplex}
\end{equation}
Vyřešením rovnice \eqref{eq:AREkomplex} dostáváme transformované $\widetilde{P}$. K~získání $P$ nám stačí pouze  vlastní vektory příslušné $\lambda$ a $\overline{\lambda}$
\[
P = \begin{bmatrix} w & \overline{w} \end{bmatrix} P_2 \begin{bmatrix} \overline{w}^{\rm T} \cr w^{\rm T} \end{bmatrix}.
\]
Zesílení stavové $F$  potom získáme dosazením do vztahu \eqref{eq:REcontrollaw}
\[
F = -R^{-1}B^{\rm T}P\,.
\]

Ukazuje se, že i v~případě posunutí dvojice komplexně sdružených vlastních čísel není potřeba počítat řešení algebraické Riccatiho rovnice pro matice velikosti $n\times n$, ale stačí $2\times 2$.
